پاسخ کار درکلاس دوم صفحه 43 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 43 ریاضی دهم - روابط دیگر این تمرین به اثبات دو رابطه‌ی بنیادی دیگر در مثلثات می‌پردازد که با تقسیم **رابطه‌ی اساسی** بر مربع سینوس یا کسینوس به دست می‌آیند. این روابط، نسبت‌های $\tan \alpha$ و $\cot \alpha$ را به $\cos \alpha$ و $\sin \alpha$ مرتبط می‌کنند. ### **اثبات رابطه‌ی اول (تانژانت و کسینوس)** برای این که تانژانت ($\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$) در معادله ظاهر شود، باید همه‌ی جملات رابطه‌ی اساسی را بر $\cos^2 \alpha$ تقسیم کنیم (به شرط $\cos \alpha \ne 0$): $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$ $$\Rightarrow \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac{\cos^2 \alpha}{\mathbf{\cos^2 \alpha}} = \frac{1}{\mathbf{\cos^2 \alpha}}$$ با توجه به اینکه $\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \tan^2 \alpha$ و $\frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = 1$، به رابطه‌ی زیر می‌رسیم: $$\mathbf{\tan^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}}$$ ### **اثبات رابطه‌ی دوم (کتانژانت و سینوس)** برای این که کتانژانت ($\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$) در معادله ظاهر شود، باید همه‌ی جملات رابطه‌ی اساسی را بر $\sin^2 \alpha$ تقسیم کنیم (به شرط $\sin \alpha \ne 0$): $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$ $$\Rightarrow \frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + \frac{\mathbf{\cos^2 \alpha}}{\sin^2 \alpha} = \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\sin^2 \alpha}}$$ با توجه به اینکه $\frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = 1$ و $\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \cot^2 \alpha$، به رابطه‌ی زیر می‌رسیم: $$\mathbf{1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}}$$ **نکته‌ی کلیدی:** این دو رابطه بسیار پرکاربرد هستند و به شما اجازه می‌دهند که با داشتن $\tan \alpha$ یا $\cot \alpha$، مستقیماً $\cos \alpha$ یا $\sin \alpha$ را پیدا کنید.

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 43 ریاضی دهم - مسئله ۳ این مسئله ترکیبی از استفاده از **روابط اصلی مثلثات** و توجه دقیق به **علامت نسبت‌ها در ربع دوم** است. ### **گام ۱: تعیین ربع و علائم** * **ربع:** $90^\circ < \alpha < 180^\circ$، پس $\alpha$ در **ربع دوم (II)** است. * **علائم:** در ربع دوم، $\sin \alpha$ **مثبت** و $\cos \alpha$ و $\tan \alpha$ **منفی** هستند. (با مقدار داده‌شده $\tan \alpha = -\frac{3}{4}$ همخوانی دارد). ### **گام ۲: پیدا کردن $\cos \alpha$ با استفاده از رابطه‌ی تانژانت و کسینوس** از رابطه‌ی ۱ که در بخش قبلی اثبات شد استفاده می‌کنیم: $$\tan^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$ **جایگذاری $\tan \alpha$:** $$\left( -\frac{3}{4} \right)^2 + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$ $$\frac{9}{16} + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$ $$\frac{9 + 16}{16} = \frac{25}{16} = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$ **محاسبه $\cos \alpha$:** $$\cos^2 \alpha = \frac{16}{25} \Rightarrow \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5}$$ **اعمال علامت:** چون $\alpha$ در ربع دوم است، $\cos \alpha$ باید منفی باشد: $$\mathbf{\cos \alpha = -\frac{4}{5}}$$ ### **گام ۳: پیدا کردن $\sin \alpha$** از رابطه‌ی $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ استفاده می‌کنیم: $$\sin \alpha = \tan \alpha \times \cos \alpha$$ $$\sin \alpha = \left( -\frac{3}{4} \right) \times \left( -\frac{4}{5} \right)$$ $$\sin \alpha = \mathbf{\frac{3}{5}}$$ **تأیید علامت:** $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ مثبت است که با ربع دوم سازگار است. ### **گام ۴: پیدا کردن $\cot \alpha$** از رابطه‌ی $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}$ استفاده می‌کنیم: $$\cot \alpha = \frac{1}{-\frac{3}{4}} = \mathbf{-\frac{4}{3}}$$ **نتیجه‌ی نهایی:** * $\mathbf{\sin \alpha = \frac{3}{5}}$ * $\mathbf{\cos \alpha = -\frac{4}{5}}$ * $\mathbf{\cot \alpha = -\frac{4}{3}}$